差分基础
差分是前缀和的逆操作。设有原数组 a[N] 和其差分数组 b[N]，则：
a[n] = a[n-1] + b[n];b[n] = a[n] - a[n-1];
现有问题如下：
对数组 a[N] 进行 m 次操作，每次操作使 [l, r] 区间元素值加 c 。
对该类问题，相比于直接操作原数组，使用差分方法解，可以将时间复杂度从 O(nm) 降低至 O(n+m)。
以差分方法解，相当于：
a 的差分数组元素 b[l] 值加 c，b[r+1] 值减 c，完成所有操作后通过 差分数组 b[N] 重构出原始数组 a[N] ，既是答案。
原数组处理：
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int arr[N];
int main(){
int n, m;
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i ++)
scanf("%d", &arr[i]);
while(m--){
int l, r, c;
scanf("%d %d %d", &l, &r, &c);
for (int i = l; i <= r; i ++)
arr[i] += c;
}
for (int i = 1; i <= n; i ++)
printf("%d ", arr[i]);
printf("\n");
return 0;
}
复杂度 O(nm) ，较长数据报TLE。
差分方法处理
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int arr[N];
int b[N];
int main(){
int n, m;
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i ++){
scanf("%d", &arr[i]);
b[i] = arr[i] - arr[i-1];
}
while(m--){
int l, r, c;
scanf("%d %d %d", &l, &r, &c);
b[l] += c, b[r+1] -= c;
}
for (int i = 1; i <= n; i ++){
arr[i] = arr[i-1] + b[i];
printf("%d ", arr[i]);
}
printf("\n");
return 0;
}
复杂度 O(m+n) ，通过。
二维矩阵情况
同一维数组类似，二维差分是二维前缀和的逆操作， 二维矩阵是其差分矩阵的前缀和矩阵。
对二维矩阵 a[N][M] 和其差分矩阵 b[N][M] ，有以下性质：
a[i][j] = a[i][j-1] + a[i-1][j] - a[i-1][j-1] + b[i][j];b[i][j] = a[i][j] - a[i][j-1] - a[i-1][j] + a[i-1][j-1];
同样的，对于以下类型题目：
给定矩阵 a[N][M] ，并进行 q 次操作，每次操作将[x1y1, x2y2] 范围元素值加 c。
若使用原矩阵操作，时间复杂度为 O(mnq)，而使用差分矩阵 b[N][M] 操作相当于：
b[x1][y1] += c，
b[x1][y2+1] -= c,
b[x2+1][y1] -= c,
b[x2+1][y2+1] += c；
时间复杂度可降为 O(q+mn) 。
给出差分矩阵解：
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int a[N][N], b[N][N];
int main(){
int n, m, q;
scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
for (int i = 1; i <= n; i++){
for (int j = 1; j <= m; j++){
scanf("%d", &a[i][j]);
b[i][j] = a[i][j] + a[i-1][j-1] - a[i-1][j] - a[i][j-1];
}
}
while(q--){
int x1, y1, x2, y2, c;
scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &c);
b[x1][y1] += c, b[x2+1][y2+1] += c, b[x1][y2+1] -= c, b[x2+1][y1] -= c;
}
for (int i = 1; i <= n; i++){
for (int j = 1; j <= m; j++){
a[i][j] = a[i][j-1] + a[i-1][j] - a[i-1][j-1] + b[i][j];
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++){
for (int j = 1; j <= m; j++){
printf("%d ", a[i][j]);
}
printf("\n");
}
// printf("\n");
return 0;
}
